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    • RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE


      Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété P portant sur tous les entiers naturels. Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants : (Principe)

      • la propriété est satisfaite par l'entier 0 : notée P(0) ou P(1) si commence par 1;
      • chaque fois que cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, soit P(n), elle est également satisfaite par son successeur, c'est-à-dire par le nombre entier n + 1. Donc P(n+1).

      Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.
      En bref qu’est-ce qu’on devra faire :

      \( \rightarrow \)Nommer la proposition (la propriété) : « P » ;
      \( \rightarrow \)Vérifier que P est vraie pour n = 0 (ou 1) ;
      \( \rightarrow \)Supposer que P est vraie pour un certain rang n, donc P(n) ;
      \( \rightarrow \)Montrer que P(n) Þ P(n+1).
      \( \rightarrow \)Conclure que P est vraie pour tout entier n.

      LES SUITES NUMÉRIQUES

      (généralité)

      1°Définitions :

      • Soit I un sous ensemble non vide de N. On appelle suite numériquetoute application de I dans R
      • On note u ou (un) ou (un)n\( \in \)N  une suite numérique.

      Un est :
      - le terme général de la suite u
      - le terme de rang, ou d’indice n de la suite u

      • Une suite peut être déterminée par une formule explicite donnant un en fonction de n ou par la donnée du premier terme et une formule liant un+1 et un, d’est de qu’on appelle forme récurrente.
      • Exemples :

      •   

      2° Variations :

      Comme toute application, une suite peut être croissante, décroissante ou constante.
      Pour déterminer les variations d’une suite, trois méthodes sont possibles selon la définition de la suite.

      Cas général:

      Comparer, pour tout n, un+1 et un.
      - (un) est constante ou stationnaire à partir d’un certain ordre si un+1- un  = 0
      - (un) est croissante si un+1- un > 0
      - (un)est décroissante si un+1- un < 0

      Si un = f(n)

      Etudier les variations de la fonction f
      - (un) est constante si  est constante
      - (un) est croissante si f est croissante
      - (un) est décroissante si f est décroissante.

      Si (un) est une suite à termes tous positifs

                  Comparer, pour tout entier n, et 1.

      • Exemples

      Reprenons les deux exemples ci-dessus.

      • Calculons un+1- un.

      Un+1 – un = 2un + 5 – un


      3° Convergence :
      La convergence d’une suite est déterminée en étudiant la limite de la suite quand n tend vers + \( \infty \).
      Si une suite admet une limite, cette limite est unique.
      Une suite numérique est :
      - convergente si elle admet une limite finie unique lorsque n tend vers +\( \infty \).
      - divergente dans les autres cas (pas de limite ou limite infinie)

       4° Suite majorée, minorée, bornée
      (un) majorée \( \Leftrightarrow \)\( \exists \) M\( \in \) R / \( \forall \)n, un\( \leq \) M.
      (un) minorée \( \Leftrightarrow \)\( \exists \) M\( \in \) R / \( \forall \)n , un\( \geq \) m.
      (un) bornée \( \Leftrightarrow \) (un) est à la fois majorée et minorée \( \Leftrightarrow \)\( \exists \) M > 0 / \( \forall \)n, | un | \( \leq \) M.

      5° Propositions
      * Toute suite croissante majorée est bornée.
      * Toute suite décroissante minorée est convergente.
      * Si u, v et w vérifient pour tout entier n : vn\( \leq \)un\( \leq \)wn, alors



      RÉSUMÉ SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES

       

       

      Suites ARITHMÉTIQUES

      suites GÉOMÉTRIQUES

      premier terme

      up

      up

      raison

      r (r \( \neq \) 0)

      q (q \( \neq \)0, q \( \neq \) 1)

      définition, pour montrer

      un+1 - un  = constante


      propriété

      un+1 = un + r

      un+1 = q.un

      Propriété (suite à termes finis)

      Somme des termes équidistants des extrêmes = somme des termes équidistants des milieux

      produit des termes équidistants des extrêmes = produit des termes équidistants des milieux

      terme général

      un = up + (n - p).r

      un =qn-p. up

      Si p = 0

      un = u0 + n.r

      un = qn u0

      somme de n termes consécutifs

      \( \frac{n}{2} \)(premier terme + dernier terme)

      variation

      pour les suites à termes positifs
      * croissante\( \Leftrightarrow \) q > 1
      * décroissante \( \Leftrightarrow \)0 < q < 1

      variation

       

      * croissante \( \Leftrightarrow \) r >0
      *décroissante \( \Leftrightarrow \) r < 0
      * constante \( \Leftrightarrow \)r = 0

      pour les suites à termes négatifs
      * croissante \( \Leftrightarrow \)0 < q < 1
      * décroissante \( \Leftrightarrow \) q > 1

      Si q < 0 la suite est dite alternée et on ne peut rien conclure sur sa variation

      convergence

      * diverge vers + \( \infty \) si r > 0
      * diverge vers - \( \infty \) si r < 0

      pour les suites à termes positifs
      * converge vers 0 si 0 < q < 1
      * diverge vers + \( \infty \) si q > 1
      Une SG converge vers 0 si -1<  | q | < 1
      et diverge dans les autres cas

      Remarque : le nombre de termes consécutifs est donné par la formule : « n – p + 1 », avec :

      • n est le numéro du dernier terme
      • p est le numéro du premier terme









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