Généralités
Nombres Complexes
L'histoire des nombres complexes commence vers le milieu du XVIe siècle avec une première apparition en 1545, dans l'œuvre de Cardan, d'une expression contenant la racine carrée d'un nombre négatif, nombre qu'il appelle sophistiqué. C'est Raphaël Bombelli qui met en place les règles de calcul sur ces quantités que l'on appelle alors impossibles avant de leur donner le nom d'imaginaires.
Les nombres complexes sont nés de confrontations avec des opérations impossibles comme les racines carrées de nombres négatifs. Un des premiers mathématiciens à en imaginer l'existence est Cardan en 1545 dans son Artis magnae sive regulis algebraicus à l'occasion de la résolution de l'équation x(10-x)=40
Le nombre i
L'ensemble des nombres complexes est créé comme extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire (noté généralement i) tel que i2 = –1. (-i)2 est aussi égal à -1.
La notion de valeur absolue définie sur l'ensemble des nombres réels peut être étendue à l'ensemble des nombres complexes et prend alors le nom de module.
Mais on ne peut pas munir l'ensemble des nombres complexes d'une relation d'ordre qui en ferait un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de comparer deux complexes en respectant les règles opératoires valables pour les nombres réels.
Forme algébrique des nombres complexes
Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme a + ib où a et b sont des réels.
Il est appelé corps des nombres complexes et se note ℂ.
On note souvent les nombres complexes avec la lettre z
Ainsi, on écrira z = a + ib ,
(ou z = x + iy
, 
)On dit que a est la partie réelle de z, et que b est la partie imaginaire de z.
On note a =Re(z) et b=Im(z).
Attention!
- Les parties réelle et imaginaire d’un complexe sont des nombres réels
- Si a=0, z = bi. On dit que z est un nombre imaginaire pur.
- Si b=0, z = a. On dit que z est un nombre réel.
Nullité et égalité de deux complexes
un complexe est
nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont nullesa + ib =0 <=> a=0 et b=0
deux complexes
sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelle et imaginaire
a + ib = a' + ib' <=>a=a' et b=b'
Calculs dans
Addition : (a+ib) + (a’+ib') = (a+a’)+i(b+b')
Soustraction : (a+ib) - (a'+ib’) = (a-a')+i(b-b’)
Multiplication : (a+ib).(a'+ib') = (aa-bb)+i(ab'+a'b)
Division :
Conjugaison
Le complexe conjugué du nombre complexe z = a + ib est a − ib. Il est noté z ou z*.
Le conjugué d'un complexe a donc même partie réelle que le complexe de départ mais une partie imaginaire opposée.
Le complexe conjugué d'un complexe non nul a même module que le complexe de départ mais un argument opposé.
Propriétés de la conjugaison :
Pour tout complexe z = a + ib , et tout complexe z’ :
Forme exponentielle d'un nombre complexe
Formule d’Euler
La formule d'Euler est une égalité mathématique, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler. Elle s'écrit, pour tout nombre réel x,
et
se généralise aux x complexes.Ici, « e » est la base naturelle des logarithmes, « i » est l'unité imaginaire, sin et cos sont des fonctions trigonométriques.
La fonction exponentielle se prolonge en une fonction de la variable complexe de la manière suivante :
en
conservant les propriétés algébriques de l'exponentielle. L'exponentielle complexe est un morphisme du groupe additif (ℂ, +) dans le groupe multiplication (ℂ*, ×)
Propriétés
On définit la fonction
.
Alors on montre que :
Donc f satisfait à une équation fonctionnelle et une équation différentielle identiques à celle de la fonction exponentielle.
Par analogie, on note
En particulier, on aboutit à la formule d’Euler :
Forme géométrique d'un nombre complexe
Dans un plan complexe à muni d'un repère orthonormé
, l'image
d'un nombre complexe z = a + ib est le
point M de coordonnées (a, b), son image vectorielle
est le vecteur
. Le
nombre z est appelé affixe du point M
ou du vecteur 
(affixe
est féminin : une affixe).Le module |z| est alors la longueur du segment [OM].
Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. Est argument de z n'importe quelle mesure θ en radians de l’angle
,
bien définie à un multiple de 2π près.Puisque tous les plans complexes sont canoniquement isomorphes, on parle du plan complexe sans préciser davantage.
Si M et M' sont les point d'affixes z et z', l'image M" de la somme z + z' est définie par la relation
Pour tout complexe z0, la transformation qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' = z + z0 est une translation de vecteur u d'affixe z0.
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
On a ainsi une nouvelle écriture d'un nombre complexe non nul, dite forme trigonométrique :
Module
Le module d'un nombre complexe z est noté |z|.
En coordonnées cartésiennes, z étant égal à a + ib, où i est l'unité imaginaire, a est la partie réelle de z et b sa partie imaginaire, ce module est la racine carrée de la somme des carrés de a et b :
Le terme module a été introduit par Jean-Robert Argand, exposant une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques
Propriétés de module
Pour tous réels a et b de valeurs absolues respectives |a| et |b| et pour tous nombres complexes z, z1, z2, …, zn :®
®
®
®
®
®
®
désigne le conjugué du nombre complexe z
® Inégalité triangulaire :o
o Qui se généralise en
o
Opérations et arguments
- Pour tout couple
de complexes non nuls, on a :
- Pour tout couple
