Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Donner les formules relatives aux dérivées usuelles

§ Maîtriser l’utilisation de ces formules

§ Calculer la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables

§ Étudier et représenter graphiquement :

-       Des fonctions polynômes

-       Des fonctions types :    x         ax² +bx + c

      dx + e

sur un intervalle borné

Mettre x         ax² +bx + c

      dx + e

sous la forme

px + q +   r

              dx +e

§ Vérifier qu’une droite donnée est une asymptote

▼rappel des règles relatives aux dérivées usuelles

▼ Dérivée d’une fonction composée

 ▼utilisation des dérivées pour étudier sur un intervalle borné :

-       Des fonctions polynômes

-       Des fonctions rationnelles du type :

x         ax² +bx + c

             dx + e

(où ad ≠ o)

§  On fera le point sur les résultats abordés en classe de Première A à propos de la dérivation d’une fonction : sens de variation, extréma, tangente

§  On donnera sans démonstration la formule : (f o u)’ (x)=f’[u(x)]. U’(x) et on la fera fonctionner sur des exemples numériques

§  Dans les deux types de fonctions, on ne demandera à l’élève,  de représenter graphiquement que les fonctions dont il pourra étudier le signe de la dérivée

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Donner la définition d’une primitive d’une fonction donnée

§ Calculer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées : par reconnaissance de la forme f(u). u’

§ Calculer la primitive d’une fonction, prenant la valeur a au point  x_odonné

§ Calculer une primitive de la somme de deux fonctions continues, du produit d’une fonction par une constante réelle

§ Utiliser les primitives d’une fonction f à des calculs d’aires

▼Définition : F est une primitive de f lorsque F’(x)= f(x) (sur un intervalle I). Notation : prim(f)

▼Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante

▼Opérations sur les primitives :

- prim (f+g)

- prim (kf), kЄ R

▼application de la notion de primitives à des exercices simples de calculs d’aires (aires arithmétiques)

§ On admettra l’existence des primitives d’une fonction continue sur un intervalle

§ La primitivation par parties ou par changement de variable est hors programme

§ On proposera de nombreux exemples et exercices résolus pour apprendre à l’élève à utiliser les formules

§ Si F est une primitive de f sur [a, b], F(b)-F(a) ne dépend pas du choix de F ; on admettra que

I F(b)-F(a)I représente l’aire de la portion du plan limitée par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites x=a, x=b, (a<b)

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§  Donner la définition de la fonction x        ln x

§  étudier et représenter graphiquement  la définition de la fonction x       ln x

§  Utiliser correctement et de manière performante, dans les calculs, les propriétés  simples de la fonction ln x

§  Étudier et représenter graphiquement des fonctions simples associées à la fonction logarithme népérien

§  Calculer des primitives de fonctions du type  u’

U

§  Donner la définition de la fonction x         exp(x)

§  Étudier et représenter graphiquement la définition

x        exp(x)

§  Utiliser correctement et de manière performante, dans les calculs, les propriétés  simples de la fonction exponentielle

§  Étudier et représenter graphiquement des fonctions simples associées à la fonction exponentielle népérienne

§  Calculer des primitives de fonction s du type exp(u) .u’

§  Résoudre une équation, une inéquation dans laquelle figurent : ln [u(x)] et / ou

e ^u(x)  comme inconnues auxiliaires

§ Résoudre un système dans lequel figure

(ln [u(x)] et ln [v(y)]) et

[e ^u(x)    et e ^v(y)]

Fonction logarithme népérien

▼Définition : Primitive sur

] 0, +∞ [de la fonction fonction x      1

                        X

S’annulant pour x= 1

Notation : lnx

▼Propriétés simples

ln (ab) =ln a + ln b

ln(a/b)= ln a- ln b

ln (a^p) = p.lna

ln√a = i/2 ln a

(a>o, b>0, p Є Z)

▼Étude de fonctions simples associées à la fonction logarithme népérien

- dérivée de ln o u

§  -primitives de  u’

                        u

Fonction exponentielle népérienne

▼définition : bijection réciproque de la fonction ln

Notation : exp(x)

▼ Propriétés simples

- exp(a+b)= exp(a) .exp(b)

- exp(a-b)= exp(a)

Exp(b)

-exp(na) = (exp a)ⁿ

(a,b Є R, n Є z)

Notation e^x

▼Étude de fonctions simples associées à la fonction exponentielle népérienne

-       Dérivée de exp° u

-       Primitive de exp(u). u’

Résolution d’équations, inéquations ou systèmes

Faisant intervenir les fonctions logarithme népérien ou exponentielle

§  On justifiera pourquoi on est conduit à saisir intuitivement la notion de logarithme népérien ; l’existence et la dérivabilité de cette fonction seront admises, mais on étudiera en détail la fonction : x       ln x

§  On admettra que :

Lim lnx = +∞

X      ∞

Lim lnx = -∞

X      0

Lim         lnx    = 0

X      ∞      x

Il existe un nombre noté e tel que ln e= 1

§  Si u est fonction dérivable sur un intervalle I et ne prenant pas la valeur 0

La fonction  u’

                    U

Admet des primitives sur I, de la forme

lnIu(x)I +k (k Є R)

§  Hormis l’exemple de la fonction exponentielle, l’étude des fonctions  réciproques n’est pas au programme

§  On démontrera que

Lim e^x  = +∞

x        +∞  et

Lim e^x  = 0

x        -∞ 

mais on admettra

Lim e^x

        x

x        +∞ 

§  Un choix judicieux devra être fait sur les fonctions u et v de manière à ce que les exercices proposés soient adaptés au niveau de la classe

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Maîtriser des suites numériques figurant au programme de la classe de Première A

§ Démontrer qu’une suite donnée est :

-       Une suite arithmétique

-       Une suite géométrique et en déterminer la raison et le premier terme

-       Reconnaître que trois nombres donnés sont en progression arithmétique ou géométrique

-       Calculer la limite d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique

-       Raisonner par récurrence, dans des cas simples

-       Étudier des suites de types :

-       U_n= f(n)

-       U_n+1=g  et en calculer les limites

▼Rappels des notions étudiées en classe de Première

-       Suite arithmétique

-       Suite géométrique

▼Variations et limites

▼Étude du comportement de certaines suites et de leurs limitées :

- raisonnement par récurrence

- suites du type :

-       U_n= f(n)

-       U_n+1= g  Un

▼Approximation de réels par des suites rationnelles

§ A l’aide de nombreux exercices, on remettra au point les éléments essentiels concernant les suites arithmétiques et les suites géométriques :

-       Définitions

-       Somme des termes

§ On entraînera également l’élève à reconnaître les variations de telles suites et à déterminer leurs limites (vue l’importance de ces deux types de suites)

§ Les parties ‘’étude du comportement de certaines suites’’ pourront être traitées à partir d’exemples, et éventuellement sous forme de sujet d’étude ;

§ On étudiera, sans faire de théorie trop poussée, les suites du type

n        (a>o)

où l’on distinguera les cas : o < a < 1 et a ≥ 1.

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Calculer une limite sans utiliser des dérivées

-  Limite en 0 et l’infini des fonctions de référence

-  Utilisation des théorèmes de comparaison

-  Utilisation des opérations sur les limites

§ Si une fonction est croissante sur]a, b [(a<b) et si elle est majorée, alors elle admet une limite à gauche en b

§ Justifier qu’une droite est asymptote à une courbe d’équation donnée

§ Rechercher une direction asymptotique

§ Rechercher une asymptote à une courbe d’équation donnée

§ Étudier la position d’une courbe par rapport à une asymptote

§ Voir la continuité ou la non continuité d’une fonction à partir d’une représentation graphique

§ Justifier qu’une fonction est continue sur un intervalle

§ Trouver l’image d’un intervalle par une fonction à l’aide du tableau de variation de cette fonction

§ Justifier à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires qu’une équation du type f(x)= 0 admet au moins une solution sur un intervalle donné

§ Connaître et utiliser quelques méthodes d’approximation des solutions d’une équation (dichotomie, encadrements successifs)

§ Tracer dans repère orthonormé la courbe représentative de la fonction réciproque d’une fonction bijective

§ Prolonger une fonction par continuité lorsque c’est possible

▼Méthode de recherche

de limites

·     Opérations sur les limites

·     Limites de référence

·     Théorème de comparaison

·     Limite de la composée de deux fonctions

·     Limite d’une fonction monotone sur un intervalle ouvert] a, b  [

▼Étude de branches

infinies d’une courbe

·     Direction asymptotique

·     Asymptote

·     Asymptoteposition de la courbe par rapport aux asymptotes

▼Fonction continue

sur intervalle

·     Définition

·     Opérations sur les fonctions continues

·     Image d’un intervalle par une fonction continue ; image d’un segment

·     Théorème des valeurs intermédiaires

·     Réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle :

-       Théorème

-       Valeur approchée d’une solution d’une équation

-       Représentation graphique

·     Prolongement  par continuité

·    Suivant le niveau de sa classe, on laissera au professeur le choix de démontrer ou non les théorèmes ou propriétés contenus dans ce chapitre, hormis celui de la composée de deux fonctions qu’on admettra. On devra, par contre, proposer de nombreux exercices permettant à l’élève de se familiariser avec leur utilisation dans la pratique.

·    On admettra que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle et que l’image d’un segment est un segment

·    La continuité de la fonction réciproque sera également admise

On étudiera l’exemple de la fonction  x  où n  N-

       0,1    

(fonction racine n-ième)

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

· Calculer la fonction de la composée de deux fonctions dérivables

· Calculer la dérivée d’une fonction du type f^m

· Calculer la dérivée de la fonction réciproque d’une fonction bijective par applicationdirecte de la formule appropriée

· Calculer des dérivées successives

· Reconnaître des situations où peut appliquer les théorèmes des inégalités des accroissements finis

· Encadrer f(b)-f(a), si f est dérivable, en utilisant les inégalités des accroissements finis

· Étudier la position d’une courbe par rapport à une de ses (demis) tangents

· Étudier, sur quelques exemples, des points d’inflexion et des points anguleux de la courbe représentative d’une fonction

· Utiliser des représentations graphiques es fonctions à la résolution d’équations et d’inéquations comportant éventuellement un paramètre réel ;

▼Compléments sur la dérivation

§  Fonction dérivée d’une fonction composée : existence et formule

§  Dérivée de la réciproque d’une fonction dérivable strictement monotone

§  Dérivées successives :

-       Définition

-       Notation différentielle

§  Inégalités des accroissements finis :

-       Énoncé du théorème

-       Exemples d’application

▼Étude de quelques

§ Fonctions rationnelles

§ Fonctions irrationnelles

§ Fonctions trigonométriques

§ Application à la résolution d’équations et d’inéquations

§ On admettra de la dérivée de la composition de deux fonctions dérivables ainsi que la formule :

fog)’= (f’og) xg’ il en sera de même de la dérivée de la fonction réciproque

§ Concernant l’utilisation du théorème des inégalités des accroissements finis, on proposera uniquement des exercices qui ne comportent pas d’énorme difficulté mais qui visent plutôt à faire appliquer directement le théorème

§ Il n’est pas interdit  de proposer en activités des exemples de fonctions composées de deux quelconques de type figurant au programme , un des objectifs étant de rendre l’élève capable d’étudier correctement des fonctions et de tracer des courbes représentatives d’une manière performante

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Formuler la définition d’une primitive d’une fonction définie et continue sur un intervalle

§ Vérifier qu’une fonction donnée est une primitive d’une autre donnée sur un intervalle

§ Connaissant une primitive d’une fonction f sur un intervalle I

§ Écrire la forme générale des primitives de f sur I

§ Déterminer la primitive de f qui prend une valeur donnée en un point donné

§ Déterminer les primitives d’une fonction à partir des formules de dérivation (lecture inverse du tableau de dérivation)

§ Définition et propriétés :

F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que pour tout x de I

F’(x) = f(x)

§  Propriétés :

- Théorème de l’existence d’une primitive

- Deux primitives, sur un même intervalle, d’une fonction différente d’une constante

- Primitive d’une fonction, prenant la valeur y₀ en un point x₀

§  Calcul des primitives :

-       Primitives des fonctions usuelles

-       Opérations sur les primitives

-       Primitives des fonctions du type :

F’ (g’of)

F’f^m, m   Z- [0, -1]

§ On admettra l’existence d’une primitive d’une fonction continue sur un intervalle

§ On donnera des exemples de fonction non continue admettant des primitives

§ On proposera de nombreux exemples et exercices résolus pour l’élève puisse se familiariser avec l’utilisation des formules et propriétés des primitives

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

L’élève doit être capable de (d’) :

§ Utiliser les propriétés algébriques de la fonction ln dans des calculs

§ Représenter graphiquement la fonction x  ln x (ensemble de définition, limite en 0 et , dérivée et sens de variation,  direction asymptotique, tangentes remarquables…)

§ Calculer les quelques limites de référence et les utiliser dans la recherche d’autres limites

§ Retrouver à l’aide de sa représentation graphique les propriétés essentielles de la fonction ln

§ Effectuer des calculs de logarithme décimal en utilisant la table des logarithmes

§ Étudier et représenter graphiquement des fonctions du type ln° u

§ Calculer des primitives des fonctions d type f/f

§ Résoudre des équations et inéquations se ramenant à : lna= ln b ; in a ≤ in b

§ Résoudre des équations et systèmes d’équations à l’aide d’inconnues auxiliaires

▼Logarithme népérien

§ Définition, notation : ln x

-logarithme d’un produit

Logarithme d’un quotient

Logarithme d’une puissance

Logarithme d’un carré

§ Étude de la fonction

x  ln x

- Limites en + , et en 0

- Representation graphique

- Le nombre e

- Limites de reference:

= 0

 = 0

▼Fonctions construites avec la fonction logarithme népérien

§ Logarithme décimal :

-       Définition

-       Utilisation dans les calculs numériques

§ Fonction du type ln°u

▼Calculs de certaines Primitives

§ Primitives des fonctions du type  f / f

▼Fonction logarithme et Équations/inéquations systèmes

§  Équations du type : ln[u(x)] = m

§  Autres types d’équations et d’inéquations

§  Systèmes d’équations (utilisation d’inconnues auxiliaires)

§ La définition logarithme népérien est définie comme étant la primitive sur]0 ; + [de lafonction  , s’annulation pour x= 1

§ On étudiera en détail, une fois pour la fonction

x  ln x, avec les tangentes en (1 ;0) et (e ;1) à sa courbe représentative

§ Les quelques limites ci-contre sont à démontrer

§ Le logarithme décimal d’un nombre réel à est noté : log a

§ On étudiera en activités des exemples de fonction logarithme de base a

§ On proposera de nombreux exemples et exercices pour faire maîtriser les formules et techniques de résolution

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exp(par analogie avec les opérations sur les puissances)

§ Étudier et représenter graphiquement la fonction x  e^x

§ Calculer les quelques limites de référence et utiliser ces limites dans la recherche d’autres limites

§ Reconnaître des primitives de fonction du type : u’e^u et u^au’ et calculer ces primitives

§ Connaître et utiliser les résultats relatifs aux croissances comparées de ln x, x^aet e^x pour calculer d’autres limites

§ Utiliser les fonctions exponentielles et puissances à la résolution d’équations, d’inéquations et de systèmes

▼Exponentielle népérienne

§ Définition

Notation exp(x) =

§ Propriétés algébriques :

-       Exponentielle d’une somme

-       Exponentielle d’une différence

-       Exponentielle d’un produit

§ Limites de référence :

 = 0

▼Fonctions construites avec la Fonction Exponentielle Népérienne

§ Fonction du type exp°u

§ Fonction exponentielle de base a(à> 0)

§ Fonction du type :

(a  R)

(p  Z ; q Z )

f^a (a  R)

u^v=

▼Primitives des fonctions du type : u’e^u et u^au’

(a  R)

▼Croissance Comparée des Fonctions

Ln x, xa(a  R) et e^x

▼Applications des Fonctions Exponentielles et Puissances

§ Résolution d’équations, d’inéquations et de systèmes

§ La fonction exponentielle népérienne est définie comme étant la réciproque de la fonction logarithme népérien

§ On justifiera pourquoi on a exp(x)= e^x

§ on étudiera en détail, une fois pour toutes la fonction x  e^x avec les tangentes en (0 ;1) et (1 ; e) à sa courbe représentative

§ on écriraa^x= (du type exp°u) et on étudiera les cas où 0 < a <1 et a>1

§ les types de fonctions ci-contre seront à traiter sous formes d’activités, mises à part celles du type : exp°u et u^v auxquelles l’élève devra se familiariser

§ on proposera de nombreux exemples et exercices résolus pour apprendre à l’élève  à utiliser les formules et à maîtriser les techniques

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

·      Connaître la définition d’une intégrale ainsi que ses propriétés élémentaires

·      Interpréter graphiquement une intégrale

·      Déterminer le signe d’une intégrale

·      Utiliser la notion d’une valeur moyenne d’une fonction en sciences physiques( calcul de l’intensité efficace d’un courant alternatif, vitesse moyenne)

·      Calculer la valeur moyenne d’une fonction et interpréter le résultat

·      Calculer des intégrales :

-  En utilisant les formules de dérivation

-  En effectuant une intégration par partie

-  En effectuant un changement de variable affine

·      Calculer une valeur approchée d’une intégrale par la méthode des rectangles

·      Démontrer des inégalités à l’aide du calcul intégral

·      Encadrer une intégrale

·      Calculer l’intégrale de certaines fonctions rationnelles et trigonométriques

·      Étudier certaines fonctions définies par une intégrale

·      Calculer l’aire de la partie du plan définie par

(a  ≤ x ≤  b et o≤  y ≤ f(x)) où f est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a, b]

▼Intégrale d’une fonction   

§  Définition

§  Propriétés de l’intégral

-       Relation de Chasles

-       Positivité

-       Linéarité par rapport aux fonctions

-       Inégalités de la moyenne, valeur moyenne d’une fonction

▼Quelques méthodes

          d’Intégration

§  Utilisation inverse des formules de dérivation

§  Intégration par parties

§  Intégration par changement de variables affines

§  Valeur approchée par la méthode des rectangles avec majoration du reste

▼Application du calcul

         d’intégral

§  Exemples  d’étude des fonctions de la forme :

x

où f n’a pas de primitive explicitée

§  Calculs de l’aire d’une portion de plan

§  Généralisation à une fonction continue de signe quelconque

§ On adoptera la définition suivante :

 = F(b) – F(a) a et b appartiennent à I et F étant une primitive de f sur I

§ On fera le rapprochement entre inégalités de la moyenne et inégalités des accroissements finis

§ Concernant les activités sur l’ intégration par parties, on insistera sur le fait que le choix initial des fonctions u et v’ devra conduire à un calcul plus simple d’une nouvelle intégrale

§ On entraînera l’élève à la bonne utilisation des notions différentielles dans une intégration par changement de variables

§ D’autres applications du calcul intégral telles que calcul d’aires, de volumes et de moments d’inertie seront à traiter sous forme d’activités de recherche

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Reconnaître une équation différentielle

§ Vérifier qu’une fonction  est solution d’une équation différentielle donnée

§ Écrire et résoudre l’équation caractéristique d’une équation type :

Y’’ + ay’ + by = 0

§ Résoudre une équation différentielle :

Du type y’ + ay = 0

Du type : y’’ + ay’ + by = 0

§ Trouver la solution d’une équation différentielle vérifiant des conditions initiales

§ Équation différentielle du premier ordre :

-       Forme : y’ + ay = 0

-       Résolution

§ Équation différentielle du second ordre :

- Forme : y’’ + ay’ + by = 0

- Résolution

- Cas particulier

*y’’ = m²y

* y’’ = -m²y

§ Quelques exemples d’applications en géométrie, en sciences physiques,…

§ On introduira les équations différentielles par celle du type y’= ky

§ Dans la réalité, de nombreuses études des phénomènes physiques conduisent à la résolution d’équations du type y’ + ay =f ou y’’ + ay’ + by = f où f est une fonction donnée ; on pourra proposer, en activités, de telles situations en prenant soin de bien poser toutes les questions nécessaires qui permettront à l’élève d’arriver à la solution finale

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

L’élève doit être capable de (d’) :

§ Mettre en œuvre le raisonnement par récurrence

§ Démontrer qu’une suite est monotone, strictement monotone

§ Justifier qu’une suite est majorée,  minorée, bornée

§ Utiliser des critères fondamentaux pour démontrer qu’une suite converge ou diverge :

-  Suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée)

-  Utilisation de suites de référence

-  Utilisation de théorèmes de comparaison

-  Application des théorèmes de convergence

§ Utiliser certaines techniques  pour déterminer la limite d’une suite convergente

§ Étudier la convergence d’une suite récurrente du type 

U_{n +1} =f(U_n)

§ Traiter des exercices qui font intervenir des suites arithmétiques ou géométriques

§ Étudier une suite définie par une intégrale

▼Raisonnement par

        récurrence

§ Initialisation à l’aide d’exemples

▼Suites numériques

§ Généralités :

-       Suites monotones

-       Suites majorées, minorées, bornées

§ Suites convergentes, suites divergentes :

-  Définition d’une suite convergente et propriétés

-  Théorème sur les suites croissantes et majorées (ou décroissantes et minorées) (théorème à admettre)

-  Exemples de suites divergentes

-  Image d’une suite convergeant vers l par une fonction continue en l

§ Théorèmes de comparaison

▼Exemples d’étude

   de quelques suites

§ Suites du type :

n  aⁿ( a> 1 ou IaI< 1)  

n (

croissance composée

·      Suites récurrentes :

U n+1 = f(Un) et premier terme donné

-   Suite arithmétique

-   Suite géométrique

·      Étude sur des exemples de suites définies par une intégrale

§ Pour initier au raisonnement par récurrence il faut :

-       Faire énoncer les deux étapes du raisonnement

-       Faire écrire à l’ordre n + 1 une propriété donnée à l’ordre n

-       Donner des exemples où l’application

 p(n) p(n+1) est vraie et où p(n) n’est jamais vraie

§ On mettra au point tout le vocabulaire relatif aux suites numériques

§ On dira qu’une suite (Un) converge vers I lorsque tout intervalle contenant I, aussi petit soit-il, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

§ On admettra l’unicité de la limite

§ On donnera des exemples de suite n’ayant pas de limite

§ On étudiera en particulier les variations et la convergence de ces suites en mettant en œuvre les théories étudiées.

§ L’étude des suites en Terminale C complète celle qui a été faite en Première ; quelques séances de révision devront ainsi être menées en cas de besoin sur certaines rubriques du programme de Première C, notamment sur les suites arithmétiques et géométriques