Équations différentielles

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I ; on appelle équation différentielle du nième ordre toute relation entre la variable, la fonction f et les dérivées de cette fonction jusqu’à l’ordre n si elles existent.

Exemples :
Si a est constante, f ‘ – af = 0  est une équation du premier ordre et    f’’ + a² f est une équation  différentielle du second ordre.
 
Rq :

Dans la pratique, on pose y = f (x),  y’ = f ‘(x), y’’ = f ‘’ (x)
S’il n’y a pas d’ambiguïté sur la variable utilisée, les équations différentielles précédentes s’écrivent : y’ – ay = 0  et y’’+a²y=0.
On peut écrire aussi y’(x) + ay(x) = 0  et  y’’(x) + a²y(x) = 0 si l’on veut insister sur la variable
On utilise aussi la notation différentielle et on écrit :  et  .

Résolution : 

Résoudre une équation différentielle c’est trouver les fonctions qui vérifient l’équation. On dit aussi intégrer une équation différentielle.
On appelle courbe intégrale la courbe représentative d’une fonction solution

Equation y’ + ay = 0 a \( \neq \) 0 :
 * Résolution

Si y \( \neq \) 0, y’ + ay = 0 peut s’écrire \( \frac{y'}{y} \) = -a.
En intégrant membre à membre, on obtient : ln | y | = -ax + c,  soit | y | = e^{-ax + c} ou bien        y = ±e^{-ax + c} soit y = ke^-ax avec k \( \in \) R*
* Propriété :

l’équation y’ + ay = 0 admet une infinité de solutions sur R. Imposons  la valeur y₀ de la solution en x₀.
On a alors y₀ = ke^-ax₀ et k =y₀e^ax₀.
En général, x₀ = 0 et la valeur de y₀ est appelée condition initiale, car, dans beaucoup de problèmes, la variable est le temps.

* Exemple : Résoudre y’ +3y = 0 et donner la solution  f vérifiant f(0) = 1.

Rép : y = - e^-3x.