Fonction logarithme népérien et logarithme décimal

Définitions

Fonction logarithme népérien
On appelle fonction logarithme népérien et on note ln, l’unique primitive de

Autrement dit :

Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif

Le logarithme népérien d’un nombre réel x > 0 est son image par la fonction logarithme népérien définie ci-dessus. On le note donc ln(x).

Logarithme népérien et exponentielle

On appelle fonction logarithme népérien, et l'on note ln, la bijection réciproque, de]0;+\( \infty \)[ dans R, de la fonction exp(x) .
Autrement dit :

pour tout réel x strictement positif, le nombre réel ln(x) est caractérisé par :exp(ln(x))=x .

Ou encore :

pour tout y\( \in \)R ,ln(exp(x))=y.

Étude de la fonction

La fonction logarithme est définie et dérivable (donc continue) sur]0, +∞[ et pour tout réel x strictement positif,

ln'(x)=\( \frac{1}{x} \)
\( \rightarrow \)Puisque cette dérivée est strictement positive, le logarithme est strictement croissant.

\( \rightarrow \)

concave

\( \rightarrow \)

C'est donc une bijection de]0, +∞[ sur ℝ.

\( \rightarrow \)

Propriété algébrique,
Pour tous réels a et b strictement positifs :

Étude des limites

Les limites suivantes permettent de déterminer les croissances comparées du logarithme népérien et d'une fonction puissance quelconque :

Dérivée logarithmique

Pour toute fonction réelle dérivable u, la fonction composée ln∘|u| (définie en tout point où u ne s'annule pas) est dérivable, de dérivée

Cette dérivée s'appelle la dérivée logarithmique de la fonction u. Elle représente une variation instantanée relative. C'est donc une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur. Elle permet d'autre part un calcul plus simple de la dérivée de fonctions données sous forme de produits, quotients ou puissances

Primitive

En appliquant la formule d'intégration par parties au produit des fonctions ln et x\( \rightarrow \) 1, on obtient :

D'après le théorème fondamental de l'analyse, les primitives de ln sont donc les fonctions de la forme :

la plus simple étant la fonction

.

Logarithme de base a
On a vu que le logarithme népérien, aussi appelé logarithme naturel, présente la propriété suivante.
Propriété du logarithme naturel

Or, on rencontre souvent dans la nature des expressions semblables, mais n'utilisant pas la fonction exponentielle sous sa forme e^x.
Par exemple, en chimie, le pH est relié à la concentration en ions oxonium H₃O⁺ par la relation [H₃O⁺] = 10^-pH. Comment exprimer alors le pH en fonction de [H₃O⁺] ?
Définition
Soit a\( \in \)]1,\( \infty \)[. On appelle logarithme de base a et on note log_a la fonction définie sur R₊* par :
Propriété du logarithme de base a

Logarithme décimal

On appelle logarithme décimal le logarithme en base 10.
Il est souvent écrit log (au lieu de log10).

Étude de la fonction logarithme népérien

Etude de variation
Théorème
La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ]0, +∞[, sur lequel elle est strictement croissante.

x	0 +\( \asymp \infty \)
Variation de ln(x)	\( \nearrow \)

Étude du signe

x

0 1 +\( \infty \)

Signe de ln(x)

- 0 +

En effet, ln est strictement croissante et s'annule en 1.

Étude des limites

Limite en +∞

Limite en 0+

Tableau de variations complet de la fonction ln

x

0 1 +\( \infty \)

Signe de ln(x)

+

Variation de ln(x)

+\( \infty \)

-\( \infty \)\( \nearrow \)

Tangente remarquable

Propriété
Au point (a, lna), la tangente a pour équation y=ln(a) +\( \frac{1}{a} \)(x-a). En particulier au point (1,0), la tangente a pour équation y=x-1 .
La courbe est en dessous de toutes ses tangentes. En particulier :
\( \forall \)x >0, ln(x) ≤ x-1
l'inégalité étant même stricte si x\( \neq \)1.