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  • Chap II MOUVEMENT PERIODIQUE SINUSOIDAL

    • MOUVEMENT PERIODIQUE SINUSOIDAL

      1-      1- Définitions :

      -          Un mouvement est périodique s’il se répète de façon identique à lui-même, à des intervalles de temps successifs égaux à T (période du mouvement)

       

      -          Un mouvement périodique est sinusoïdal si un point mobile M du mouvement effectue un mouvement de va-et-vient autour de sa position d’équilibre. L’élongation du mobile à l’instant t s’écrit : y = a sin (ωt + φ)

       

      Exemple : mouvement d’un pendule simple


                                  


      La longueur de la trajectoire est l = 2a

      -          Un mouvement périodique sinusoïdal est vibratoire s’il est très rapide. L’élongation des points vibrants satisfait à y = a sin (ωt + φ) ou y = a sin (t + φ) ou y = a sin (2ΠNt + φ)

       

      Exemple : vibration d’une lame élastique en acier

        OL : lame vibrante
       

      -          La période T du mouvement est la durée d’une oscillation complète.

      -          La fréquence N du mouvement est le nombre d’oscillations par seconde.

       

      2-      2-Propagation d’un ébranlement :

      Un ébranlement est une déformation brusque et locale ; il se propage avec une vitesse constante dans un milieu élastique (exemples : corde en caoutchouc, ressort, surface d’un liquide, …)

       

      a)      a) Ebranlement transversal :

      ·     - Expérience :

      Soit une corde en caoutchouc légèrement tendue. Faisons déplacer l’extrémité O de la corde vers O’.

       

       




      La portion de la corde voisine de O se déforme, puis revient à l’équilibre pendant que la portion suivante se déforme à son tour et ainsi de suite. On dit qu’il y a propagation d’un ébranlement le long de la corde élastique.

      Au passage de l’ébranlement, chaque point de la corde se déplace perpendiculairement à la direction de propagation.

       

      v                                 - Définition :

      L’ébranlement est dit transversal lorsque les points du milieu se déplacent perpendiculairement à la direction de propagation.

       

      b)      b) Ebranlement longitudinal :

      v                                 - Expérience :

      Soit un long ressort très souple légèrement tendu.

       

       

       

       

       

       

       

       

      A l’instant t = 0, le piston est en S, son élongation est alors supposée nulle. Toutes les spires du ressort sont équidistantes.

      Faisons déplacer le piston vers la droite, le ressort se raccourcit ; ce sont seulement les spires voisines de S qui se rapprochent immédiatement en créant une zone comprimée.

      Lorsque nous abandonnons le piston à lui-même, les spires près de S reprennent leur position initiale tandis que les spires voisines se compriment à leur tour et ainsi de suite. La compression se progresse le long du ressort.

      Au passage de l’ébranlement, chaque spire du ressort fait un déplacement parallèle à la direction de propagation.

      v                        - Définition :

      L’ébranlement est dit longitudinal lorsque les points du milieu se déplacent parallèlement à la direction de propagation.

       

      c)       c) Ebranlement à la surface libre du liquide :

      Un choc à la surface libre d’un liquide tranquille engendre une ride circulaire dont le rayon croît uniformément. Les rides circulaires se propagent dans toutes les directions avec la même vitesse.


       
       

      d)      d) Conclusion :

      v          La propagation d’un ébranlement ne correspond jamais à u transfert de matière.

      v           L’ébranlement se propage à vitesse constante. Cette vitesse constante de propagation s’appelle : célérité de propagation.

      v          On appelle célérité de propagation, la vitesse de propagation d’ébranlement d’un milieu élastique. La célérité dépend des constantes physiques et mécaniques du milieu propagateur.

       

      3-      3- Expression de la célérité d’ébranlement :

      a)      a) Ebranlement transversal transmis par une corde tendue :

      F : force de la tension de la corde (N)

      μ : masse linéique de la corde (Kg.m-1)  

      v : célérité d’ébranlement

       

      b)      b) Ebranlement longitudinal transmis par un gaz :


      p : pression du gaz

      ρ: Masse volumique du gaz

      : Rapport des chaleurs massiques à pression constante et à volume constant.


      Cp : chaleur massique à pression constante

      Cv : chaleur massique à volume constant

       

          ne dépend que de l’atomicité du gaz.

      §  Pour les gaz monoatomiques (He, Ne, Ar,…) = 1,67

      §  Pour les gaz diatomiques (H2, N2, O2,…)  = 1,33

      Remarque :

      Au passage d’ébranlement, chaque point du milieu reproduit le mouvement de la source.

       

       

       

      Un point M situé à la distance x de la source O, reproduit le mouvement de O avec un retard de

       

        , θ est appelé décalage horaire.

       

      4-      4- Longueur d’onde λ :

      On appelle longueur d’onde, la distance parcourue par l’onde pendant une période T.

      ou 

      λ est exprimé en m.

      v en m.s-1

      N en Hz et T en s.

       

      5-      5- Propagation d’un mouvement vibratoire sinusoïdal le long d’une corde :

      a)            a) Onde progressive dans un milieu unidimensionnel :

      ·                  - Observation du mouvement de la corde :


      ·          

       

       

      On obtient une sinusoïde qui reproduit les variations de l’élongation du point M en fonction du temps : c’est la sinusoïde des temps.

      On obtient aussi une sinusoïde qui donne la position de tous les points de la corde à un instant donné : c’est la sinusoïde des espaces.

      On appelle onde progressive l’ensemble des perturbations obtenues sur le milieu par la propagation du mouvement vibratoire.

      ·                                 -  Interprétation :

      -                   Périodicité dans le temps :

      Chaque point de la corde s’anime d’un mouvement sinusoïdal de même amplitude a et de même période T. Le graphe y = f(t) est la sinusoïde des temps.

      y = a sin (ωt) = y = a sin ( t)

      -                       Périodicité dans l’espace : longueur d’onde

      Chaque point de la corde s’anime d’un mouvement sinusoïdal de même amplitude a et de même période spatiale λ(longueur d’onde). Le graphe y = f(x) est la sinusoïde des espaces.


      Le point M situé à la distance x de la source O reproduit le mouvement de o avec un retard de 

      Soit yM(x) = y(t – )

      yM(x) = a sin [ω(t – )]

      yM(x) = a sin[(t -  )]

      yM(x) = a sin[( - )]

      ·                  -  Deux vibrations le long d’une corde :

      Soit deux points M1 et M2 d’une corde de longueur l et d’équations horaires respectives :

      y1 = a sin(- )   avec = - 

      y2 = a sin(- )   avec  = -

      La différence de phase entre y1 et y2 s’écrit 𝚫φ = 

      -                           -  Points vibrants en phase :

      M1 et M2 vibrent en phase si    = 2kπ, kϵ

      -  +  = 2kπ

      x2 – x1 = kλ, kϵ

      Deux points distants d’un nombre entier de longueur d’onde vibrent en phase

      -                             -  Points vibrants en opposition de phase :

      M1 et M2 vibrent en opposition de phase si  =π + 2kπ, kϵ

      (x2 – x1) = π + 2kπ

      x2 – x1 = (2k + 1)

      Deux points distants d’un nombre impair de demi-longueur d’onde vibrent en opposition de phase.

      -                            -  Points vibrants en quadrature de phase :

      M1 et M2 vibrent en quadrature de phase si =± + 2kπ, kϵ

      v  y        y1 est en quadrature avance sur y2 si =  + 2kπ

      (x2 – x1) =   + 2kπ

      x2 – x1 = (2k +  )

      v                y1 est en quadrature retard sur y2 si = -  + 2kΠ

      (x2 – x1) = -  + 2kπ

      x2 – x1 = (2k - )