Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

·  Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne d’un entier relatif par un autre entier non nul

·  Utiliser la division euclidienne pour décomposer un nombre entier naturel dans une base b donnée (2 ≤ b  ≤10, existence et unicité admises)

·  Passer de la numération décimale à la numération binaire et réciproquement ;

·  Connaître et utiliser :

-       Les propriétés  de la relation ‘’devise’’ dans N*

-       Les conditions nécessaires et suffisantes pour que

-        Da Db ou aZ bZ

-       Les propriétés du groupe (aZ, +)

·  Utiliser les congruences modulo n à la résolution de certains exercices tels que :

-       Recherche du reste de la division par n d’un entier naturel donné

-       Établissement de critères de divisibilité

-       Détermination de la classe modulo n d’un entier naturel donné…

·  Effectuer des opérations dans Z/nZ

·  Déterminer :

-       Le PPCM de deux ou de plusieurs nombres

-       Le PGCD de deux nombres par l’Algorithme d’Euclide

· Résoudre des problèmes utilisant :

-       Le théorème de Gauss

-       Certaines propriétés du PPCM et /ou du PGCD

· Démontrer que deux nombres sont premiers entre eux

· Reconnaître si un donné est premier ou non

· Décomposer un entier naturel en produit de facteurs premiers (existence et unicitéde la décomposition admise)

· Trouver le PPCM et le PGCD de deux nombres en utilisant leur décomposition en produit de facteurs premiers 

· Utiliser l’Arithmétique à la résolution d’une équation du premier degré dans Zx Z :

 ax + by= c

§ Division Euclidienne dans N et dans Z

Définition :

(a,b) Z xZ*

! (q, r)   Zx N tel que

    a= bq +r

    0 ≤ r ≤ IbI

·  Numérisation décimale, Numération binaire

·  Sous groupes de Z et congruences :

-       Multiples et diviseurs

-       Sous-groupes additifs de Z

-       Congruences modulo n

Propriétés vis-à-vis des opérations dans Z

Exemples d’utilisation

·  Anneau Z/ nZ

-       Définition

-       Opérations

-       Propriétés

·  PPCM et PGCD

PPCM (a,b)=

 Min (aN ∩ bN)

PGCD (a, b) =

   Max (Da ∩ Db)

-  Proprieties élémentaires

-  Recherché du PGCD par l’Algorithme d’Euclide

-  Nombres premiers entre eux, Théorème de Gauss

·  Nombres premiers

-  Définition

-  Propriétés élémentaires

-  Z / pZ est un corps si, est seulement si, p est un nombre premier

-  Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers

·  Quelques exemples de résolution d’équations du premier degré dans Z xZ

§  On donne, comme prérequis, les notions suivantes :

Divisibilité dans N

-  Signification de ‘a divise b’ ou ‘b est multiple de a’

-  La relation ‘’divise’’ est une relation d’ordre ;

-  Si a/b et a/c,

alors a/αb +βc

-  L’ensemble des diviseurs de a est noté D (a)  ou Da

-  L’ensemble des diviseurs communs de a et b est

D (a, b), c’est –à-dire que D(a) ∩ D(b)= D (a, b)

§ Propriété élémentaire

-  Les propriétés faisant intervenir les opérations +, x et la relation ≥ sont celles établies pour les nombres réels : comptabilité, simplification…

-  Entre deux entiers consécutifs a et (a+i), il n’y a pas d’autre entier.

Propriétés plus techniques :

-  Toute partie non vide de N admet un plus petit élément ;

-  Toute partie non vide  majorée de N admet un plus grand élément ;

-  Théorème d’Archimède/

( b

(  n tel que (bn > a)

§ On donnera, sous forme d’activité, le théorème de Bezout suivi de quelques exemples résolus de son utilisation.

§ Les notions de structures algébriques seront étudiées dans des cas précis de (ZE, +) , aZ, Z/Zn

§ On ne fera pas de théorie générale sur la résolution , le mécanisme sera introduit à travers des résolus.