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  DYNAMIQUE DE ROTATION

  • MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’UN AXE

    1-      Théorème de l’accélération angulaire

     1.1. TCI appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire 

     

     

    
    

    Soit un point matériel M de masse m en mouvement circulaire. (Δ) un axe perpendiculaire au plan de la trajectoire et passant par le centre O. Soit  la résultante des forces extérieures appliquées à M.

    D’après le TCI : =m.

    
    

    

     

     
    

    La quantité  s’appelle moment d’inertie du point matériel M par rapport à l’axe (Δ).

    1.2.TCI appliqué à un solide en mouvement de rotation : TAA

     

    Soit un solide (S) mobile autour d’un axe fixe (Δ) avec une accélération angulaire .Considérons un point M_i de masse m_i du solide. Le point M_i décrit une trajectoire circulaire de rayon r_i.

    

     

    
    

    Soit la résultante des forces extérieures appliquées au point M_i.

    D’après la relation (1) :

    La somme des moments de forces extérieures qui s’exercent sur le solide (S) est égale à la somme des moments des forces qui s’exercent sur chacun des points M_i.

    
    

    J_Δest appelé moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe (Δ).

    On a : T.A.A

    D’où le TAA :

    «          La somme des moments des forces extérieures appliquées à un solide en mouvement de rotation est égale au produit de l’accélération angulaire par le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation. »

     

    2-        2- Quelques solides homogènes par rapport à un axe passant par son centre d’inertie G

    2.1.Circonférence pesante/cylindre creux (jante, anneau, cerceau)

     

           

    
    M : masse et R : rayon

               2.2.  Disque de rayon R et de masse M

    

             

    2.3.Cylindre plein de rayon R et de masse M

    

        

    2.4. Sphère de rayon R et de masse M

         

    
    

             2.5. Tige de longueur L et de masse m

    

     

    3. Théorème d’Huygens

    Si l’axe de rotation ne passe pas par le centre d’inertie G, on utilise le Théorème d’Huygens pour trouver le moment d’inertie par rapport à cet axe.

    Soit un solide de masse total M mobile autour d’un axe (Δ’) qui ne passe pas par son centre d’inertie G.
    

    

     

      Le moment d’inertie de ce solide par rapport à l’axe (Δ’) est donné par le théorème d’Huygens :

     

        J_Δ: moment d’inertie par rapport à (Δ)

    d : distance entre (Δ) et (Δ’)

      Exemple :

    Calculer le moment d’inertie d’un disque homogène de rayon R=10cm et de masse M=500g par rapport à un axe (Δ’) situé à une distance d = de son centre d’inertie G.

     

       4. Machine d’Atwood

    Deux masses m₁ et m₂ sont reliées par un fil inextensible de masse négligeable qui passe par la gorge d’une poulie de masse m et de rayon r.

     

    

     
    

    On suppose que la masse M de la poulie est uniformément repartie sur sa circonférence et que les forces de frottement sont négligeables. Déterminer l’accélération du mouvement de deux masses m₁ et m₂.

     

    Etudions séparément le système :

    Système 1 : {masse m₁}

    Système 2 : {masse m₂}

    Système 3 : {masse poulie}

     

    Les systèmes (1) et (2) sont animés de mouvement de translation.

    Système 1 :

    
    

    Projection sur un axe vertical ascendant :

    -P₁+T₁=m₁a (1)

     

    Système 2 :

    
    

    Projection sur un axe vertical ascendant :

    
    

    

        5. Pendule élastique de torsion

    Un pendule de torsion est constitué par un solide S fixé à un fil de torsion. Ecarter de sa position d’équilibre et abandonner sans vitesse initiale, lesolide (S) effectue des oscillations autour de l’axe (Δ) qui est constitué par le fil de torsion lui-même. Ces mouvements d’oscillations sont assurés par le couple de torsion que le fil exerce sur (S).

    
    

     5.1.        Etude dynamique

    
    

    C’est l’équation différentielle du mouvement.

    Nature du mouvement : mouvement de rotation sinusoïdal par rapport au fil.

    L’équation horaire du mouvement:

    θ = θ_msin(ωt +φ )

    
    

    5.2.  Energie mécanique

    
    

    Le système  {solide +fil de torsion +Terre} est un système isolé, alors l’énergie mécanique est conservée.

    
    

           6. Pendule pesant

    6.1. Définition

    Un solide oscillant autour d’un axe horizontal fixe sous la seule action de son poids constitue un pendule pesant.

    Exemple : le balancier d’une horloge, …

    

     

                 6.2. Etude dynamique

    
    

    Nature du mouvement : mouvement de rotation sinusoïdale

    Equation horaire :θ(t) = θ_msin(ωt +φ)

    

    6.3.  Energie mécanique

    

     
    

    
    

           7. Pendule simple synchrone (PSS) d’un pendule pesant

    7.1. Pendule simple

    Un pendule simple est un pendule constitué par une masse ponctuelle m suspendue à une tige ouun fil de masse négligeable de longueur l dont l’autre extrémité est accrochée à un point fixe O.

     

     

    Nature du mouvement : mouvement de rotation sinusoïdale

    Equation horaire :θ(t) = θ_msin(ωt +φ)

    
    

    7.2.Pendule simple synchrone d’un pendule pesant

    C’est un pendule simple qui a la même période que le pendule pesant.

    
    

    l: longueur du PSS du pendule pesant

     

      ENERGIE MECANIQUE

    1. Energie cinétique E_C

     

    1.1. Energie cinétique de translation

    
    

    1.2. Energie cinétique de rotation

     

     

    2. Energie potentielle E_P

    2.1.  E_P de pesanteur

    
    

    
    

    

    2.2.  E_P élastique (ressort)

    
    

    Remarque : Travail de la tension du ressort entre la position (1) et la position (2)

    
    

    2.3.  E_P de torsion

     

    
    

    θ : angle à partir de sa position d’équilibre

    C : constante de torsion

    Remarque : Travail du couple de torsion entre la position (1) et la position (2)

    
    

     

    2.4.  E_P électrique d’une charge q

    
    

    V : potentiel du point considéré.

    3. Energie mécanique totale

    E_m = E_c + E_p

    
    

    3.1.   Système isolé

    Un système est mécaniquement isolé lorsqu’il n’est soumis à aucune force extérieure.

    L’énergie mécanique est conservée.

    Un système est dit isolé lorsque son énergie mécanique est conservée.

    Système isolé ⇾E_m = constante

     

    Un système isolé qui conserve l’énergie mécanique est tout système où il n’y a pas defrottement et pas de force motrice.

    Les seules forces qui travaillent sont le poids , la

    tension du ressort  et le couple de torsion .

    Si l’E_m est conservée, alors

    
    

    N.B : Dans la pratique, on prend comme système l’ensemble {corps + Terre + ressort ou fil de torsion} puis on applique la conservation de l’énergie mécanique.

    3.2.Utilisation de la conservation de l’énergie mécanique

    a)      Première forme d’utilisation

    E_m = E_c + E_p = constante

    Alors si E_C augmente, E_P diminue et vice versa.

    b)     2^ème forme d’utilisation

    
    

    c)      3^ème forme d’utilisation

    

        PROBLEME DE CHOC

         1. Choc mou

    Un choc est mou lorsqu’ après le choc, les deux solides se collent et ont la même vitesse.

    Soient deux solides de masse respective m_A et m_B qui entrent en choc.

    
    

    

     
    

         Choc mou, on a:
    

              
    

      2. Choc parfaitement élastique

    Un choc est parfaitement élastique lorsque après le choc, les deux solides se séparent et ont chacune sa vitesse.

    
    

     Choc parfaitement élastique :

        p₁ = p₂

        Ec₁ = Ec₂

     

     

     

    Mr RANDRIANANTENAINA Chabanas Deloy

    e mail: deloychabanas@gmail.com