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  OSCILLATIONS ELECTRIQUES

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    I-    Introduction : Représentation de Fresnel

    1-               1- Définition :

    A toute fonction sinusoïdale y = a sin (ωt + φ), on associe un vecteur tournant  de longueur a, faisant un angle φ avec l’axe des phases à l’instant t = o et qui tourne dans le sens trigonométrique autour de son origine O avec une vitesse angulaire constante ω.

       

     
    

     
    

    pris à l’instant t = o est appelé « vecteur de Fresnel »

    A tout mouvement circulaire uniforme, on peut faire correspondre un mouvement rectiligne sinusoïdal et inversement.

     

    Exemple : y = 2.10^-2sin (10πt +  )

    Ech : 1cm pour 10^-2cm

     1cm pour  = 0,05s

     

      2-    Différence de phase (ou déphasage) :

    Soient deux fonctions sinusoïdales de même période :

    y₁ = a₁ sin (ωt + φ₁) de vecteur de Fresnel φ₁

    y₂ = a₂ sin (ωt + φ₂) de vecteur de Fresnel φ₂

     

    Le déphasage est donné par :

    

    
    Cas particuliers :

    -       Si Δφ = 2kπ, y₁ et y₂ sont en phase (ou en concordance de phase)

    -       Si Δφ = (2k + 1) π, y₁ et y₂ sont en opposition de phase

    -        Si Δφ = (2k + 1), y₁ et y₂ sont en quadrature de phase.

    3-          3- Décalage horaire :

     
    

    
    

    II-      Oscillations électriques libres non amorties :

    1-               1- Expérience :

     

    Réunissons les deux armatures A et B d’un condensateur chargé aux bornes M et N d’une bobine d’inductance L et de résistance interne négligeable. Les points A et B sont reliés aux bornes d’un oscilloscope qui mesure la tension u = u_AB.

     

     

           2-    Observation :

    On observe sur l’écran de l’oscilloscope la fonction sinusoïdale de temps de la tension u =u_AB. L’amortissement est dû à la présence de la résistance dans le circuit.

    
    

    3-               3- Interprétation :

    Le condensateur chargé se décharge dans la bobine inductive.

     

    4-                 4- Définition :

    On appelle oscillation électrique libre, une oscillation des électrons autour de la position d’équilibre moyenne.

                        
    

                         5- Equation différentielle
    

     u_AB = u_NM u_AB = - u_MN

    = -(ri – e)

    or r = 0 (résistance négligeable) et e = -L

    Donc, =  -L L + = 0

    D’après la loi de Faraday, la variation de charge au cours du temps dt engendre un courant électrique i

    
    

    i = =  

    et   =   )= =   
    

    
    Donc, L+ = 0 

    C’est une équation différentielle de second degré et sans second membre. Elle est de la forme :

     

          Remarque :

    u =   q = Cu

                     
    

    
    

    Donc, l’équation différentielle devient :

    
    Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme :

    q = Q_m sin (ω₀t + φ)

    A l’instant t = 0, q = Q_m

    Q_m = Q_msin φ sinφ = 1  φ =  rad

    Donc,
    

    Q_m : charge maximale du condensateur(ou amplitude)

       q : charge instantanée

    -                   Pulsation propre ω₀ :

     
    C : capacité du condensateur (en F)

    L : inductance de la bobine (en H)
    

    -                  
    

                         Période propre T_o :

    
    
    

    -                   Tension instantanée u :

    u ==  sin (ω₀t +)
    

    
    

    
    

    U_m : tension maximale du condensateur

     
    

    -                    Intensité instantanée i :

    i =  = ω₀ Q_m cos (ω₀t +) = - ω₀ Q_m sin (ω₀t) = ω₀ Q_m sin (ω₀t + π)

    
    

    I_m : intensité maximale

     

    6-               6- Energie électromagnétique du circuit (LC) :

    a)    Energie électrique dans le condensateur :

    
    

        E_e = Cu² = qu

    
    
    
    

    b)   Energie magnétique dans la bobine :

    E_m = Li² =

    E_m  = Lω₀²Q_m² cos² (ω₀t + φ)

    Or Lω₀² = 
    

    Donc,
    

    

    c)    Energie électromagnétique dans le circuit (LC) :

    E = E_e + E_m

    E =  sin² (ω₀t + φ) + cos² (ω₀t + φ)

    
    
    

     
    

    L’énergie électromagnétique est conservée, elle est égale à l’énergie électrique maximale dans le condensateur si l’énergie magnétique dans la bobine est nulle et inversement. Donc, il y a transformation mutuelle entre énergie électrique et énergie magnétique.
    
    
    
    

    
    

    Mr RAKOTOARISON Herimalala d'Assise
    e mail: rakdassy@gmail.com