Aperçu des sections

  • Généralités

  • COURS

    • PROBABILITÉ


      Dénombrement

      C’est le la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble. Il s'obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l'aide de techniques combinatoires


      Théorème 1

       Soit A {\displaystyle A} A une partie d'un ensemble fini E {\displaystyle E}E.
      Alors A est elle-même finie et card(A) c a r d ( A ) {\displaystyle \mathrm {card} (A)}  ≤ card(E).
      Si en outre c a r d ( A ) = c a r d ( E ) {\displaystyle \mathrm {card} (A)=\mathrm {card} (E)} card(A) = card(E)lors A = E {\displaystyle A=E} A=E.


      Corollaire 

      Soit f  f {\displaystyle f} une application injective d'un ensemble E dans un ensemble F.
      Si f(E) est fini, alors E est fini et card(E) ≤ card(f(E))


      Théorème 2

      Soit E et F deux ensembles finis tels que card(E) = card(F) Si f est une application de E dans F on a :
      f {\displaystyle f}


      Arbre

      C’est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.


      Produit cartésienne

      Soient  X et Y deux ensembles. On appelle produit cartésienne  l'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à X et la seconde à Y.

      On généralise facilement cette notion, valable pour deux ensembles, à celle de produit cartésien fini, qui est un ensemble de n-uplets dont les composantes appartiennent à n ensembles. La généralisation à un produit cartésien infini nécessite, quant à elle, la notion de fonction.

      Les  deux ensembles X et Y sont appelés ensemble-produit


      P-listes

      Une p-liste de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est une suite constituée de p éléments distincts ou non de cet ensemble.




      Arrangement

      Arrangement sans répétition

      On désigne donc par « arrangement » les choix successifs de k objets parmi n objets. Si les objets choisis sont les mêmes mais que l’ordre dans lequel ils sont choisis est différent, les arrangements sont considérés comme différents. Ici on considérera les arrangements sans répétition (ou « sans remise »), ce qui signifie que les k objets choisis sont différents.

      Démarche intuitive

      Soit le choix de k objets successifs parmi n. Combien y-a-t-il de choix possibles ?

      \( \rightarrow \)Tout d’abord choisissons le premier objet. Il y a exactement n possibilités.

      \( \rightarrow \) À l'étape deux, on a (n - 1) possibilités car on ne peut plus choisir le premier objet.

      \( \rightarrow \)À l'étape trois, on a (n - 2) possibilités car on ne peut plus choisir les deux premiers objets.

      \( \rightarrow \) De manière générale, à l'étape p, on a (n - p + 1) choix possibles.

      \( \rightarrow \) À la dernière étape correspondent donc (n - k + 1) possibilités.

      Comme dans l'exemple, le nombre d'arrangements final est le produit des choix possibles pour chaque étape.

      On a donc :

      N o m b r e d ′ a r r a n g e m e n t s = n × ( n − 1 ) × ( n − 2 ) × ⋯ × ( n − k + 3 ) × ( n − k + 2 ) × ( n − k + 1 ) {\displaystyle Nombre\;d'arrangements=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times (n-k+3)\times (n-k+2)\times (n-k+1)} Nombre d’arrangements = n×(n-1)×(n-2)×…….×(n-k+3)×(n-k+2)×(n-k+1)

       

      Arrangement avec répétition

      Pour tout n, k ∈ ℕ tel que k ≤ n, on désigne par le nombre de manières de choisir k objets parmi n objets, chaque objet ne pouvant être choisi qu'une fois et l’ordre du choix étant pris en compte, et on a



      Permutation

      La notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation d'objets distincts rangés dans un certain ordre correspond à un changement de l'ordre de succession de ces objets.

      Définition

      Soit E un ensemble fini de cardinal k (k ∈ ℕ∗), E={x1, x2, ..., xk}.

      Soient n ∈ ℕ tel que k ≤ n et n1, n2, ..., nk des entiers naturels tels que n1+n2 + ... + nk=n.

      Une permutation de n éléments de E avec n1, n2, ..., nk répétitions, est un n-uplet d'éléments de E dans lequel chacun des éléments x1, x2, ..., xk de E apparaît n1, n2, ..., nk fois.