Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

·      Déterminer le barycentre de 2,3,4 points par construction(dans ce cas non trop compliqués)

·      Déterminer , par le calcul, les coordonnées du barycentre

·      Calculer les coordonnées barycentriques d’un point

·      Étudier ces deux types de fonctions dans les cas suivant :

et

·      Réduire l’expression

·      Résoudre certains problèmes de géométrie faisant intervenir le barycentre des points mis en jeu affectés de coefficients qu’on déterminera

·      Déterminer les lignes de niveau

·  Barycentre de n points pondérés

-       Définition

-       Propriétés

-       Coordonnées

·  Étude des fonctions 

§ On insistera sur le fait que la construction du barycentre sera rendue plus facile par l’utilisation de la propriété d’associativité

§ Les activités et exercices proposées dans ce chapitre seront traités dans un espace affine de dimension  n ≤  3

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Reconnaître une application affine

§ Déterminer, sur des exemples, l’application linéaire associée à une application affine

§ Connaître les propriétés d’une application affine

-  Si le point C est dans le plan (O, A, B), alors  C’ = f(C) est dans le même plan que [f(0),f(A),f(B)]

-     Si le point C est sur la droite(AB), alors C’= f(C) est sur même droite que :  [f(A),f(B)] (conservation de l’alignement)

-       Si I est milieu de [A, B], alors f(I) est milieu de

(conservation du milieu)

-       Si et si f(D) et est une droite, alors f(D1) est une droite parallèle à f(D)

(conservation du parallélisme)

§ Connaître que :

(O, A, B, C) étant un repère de E, un point M de E a pour coordonnées(x, y, z) si et seulement si :

M est le barycentre de O, A, B, C affectés respectivement des coefficients 1-x-y-z, x, y, z (formulations analogues dans le cas où E est de dimension 2)

§ Écrire les expressions analytiques d’une application affine

§ Utiliser les expressions analytiques d’une application affine pour trouver l’mage d’un ou d’une configuration (du plan ou de l’espace)

§ Déterminer sur des exemples, la nature et les éléments caractéristiques d’une application affine définie par son expression analytique

§ Applications affines

-       Définition

-       Exemples

·      Application linéaire associée ; Nature sur quelques exemples

·      Image d’une droite, d’un plan, conservation du parallélisme

·      Expression analytiques dans un repère :

-       Coordonnées de l’image d’un pont

-       Reconnaissance d’une application affine par ses expressions analytiques

§ Une application est affine si,et seulement si, elle conserve le barycentre

§ On admettra que

    est affine si, et seulement si, pour tout repère (O, A, B, C), l’image de tout barycentre des points O, A, B, C  est barycentre des points f(O), f(A), f(B) f(C) avec respectivement les mêmes coefficients (définition  analogue dans le cas où E est de dimension 2 ou 1)

§ Une application f est entièrement définie par la donnée des images de quatre points non coplanaires (dans l’espace) ou de trois points non alignés (dans le plan) ce qui permettra deb retrouver les expressions analytiques dans un repère à trois ou à deux dimensions.

§ On pourra donner, sous forme d’activités, l’étude d’exemples d’affinités dans le plan, ainsi que quelques exemples d’applications ne conservant pas le barycentre (utilisation des nombres complexes)

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Maîtriser les notions étudiées dans les classes antérieures sur les isométries (cf. programme de Première C)

§ Écrire les expressionsanalytiques d’une translation ; d’une rotationou d’une symétrie orthogonale

§ Déterminer la nature d’une transformation par ses expressions analytiques

§ Utiliser les expressions analytiques pour trouver les images de configurations simples d’une courbe

§ Composer :

-       Deux symétries orthogonales

-       Deux rotations de même centre ou non

-       Une translation et une rotation

§ Utiliser les translations, les rotations et les symétries orthogonales dans des problèmes de constructions et de lieux géométriques

§ Décomposer une translation en un produit de deux symétries orthogonales

▼Isométrie

§ Définition

-   Applications qui conservent la distance

-   Propriétés essentielles

§ Translations

§ Rotations

§ Symétries orthogonales

(Expressions analytiques)

-       Reconnaissance de la nature de la transformation définie par ses expressions ; compositions ; utilisations

§ Classification des isométries

§ On montrera que les isométries sont des applications affines conservant le produit scalaire

§ On pourra admettre que

-       Tout déplacement du plan, qui n’est pas une translation, possède un point invariant et un seul

-       Tout antidéplacement g peut s’inscrire de façon unique sous forme

  g=t°s où s est une symétrie orthogonale et t une translation dont le vecteur dirige l’axe de s

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Énoncer la définition d’une similitude plane

§ Établir les expressions analytiques et complexes :

-       D’une similitude directe

-       D’une similitude inverse

§ En connaissant que :

(pour une similitude directe)

(pour une similitude inverse)

·      Reconnaître une similitude (directe ou inverse) d’après son expression analytique

·      Écrire l’expression complexe d’une similitude

·      Déterminer les éléments géométriques d’une similitude définie par une expression complexe

·      Utiliser une similitude dans des activités géométriques

§ Définition d’une similitude plane : il existe un réel

 k  > 0 tel que pour tout bipoint (M, N)

on a : M’N’ = k MN

§ Toute similitude s de rapport k peut s’écrire sous forme       s= h 0 f où f est une isométrie et h une homothétie de rapport k

§ Similitude directe :

-  Définition

-  Expression analytique

-  Expression complexe

-  Éléments géométriques

-  Images de configurations simples

§ Similitude inverse :

-  Définition

-  Expression analytique

-  Expression complexe

-  Éléments géométrique

-  Images de configurations simples

§ Étude des applications :

§ Les similitudes planes seront introduites géométriquement

§ On annoncera qu’une similitude plane est application affine (conserve le barycentre)

§ Toute similitude plane qui n’est pas une isométrie admet un point invariant et un seul

§ Toute similitude directe de rapport de centre O est le produit commutatif de l’homothétie h(0, k) et d’une rotation de centre O éventuellement réduite à l’identité

§ Toute similitude inverse de rapport 

§ On n’insistera pas top sur les similitudes inverses. On fera plutôt des études sur quelques exemples

Objectifs spécifiques

Contenus

Observations

l’élève doit être capable de (d’) :

§ Définir une conique :

-  Par foyer et directrice

-  Par la définition bifocale

§ Tracer point par point une conique :

-   À partir de la définition par foyer et directrice

-  À partir de la définition bifocale

§ Reconnaître la nature d’une conique (perbole, ellipse, o parabole) suivant les suivant les valeurs de l’excentricité

§ Faire choix d’un repèreconvenable pour trouver les équations réduites  s’une parabole, d’une  hyperbole, d’une ellipse

§ Reconnaître la nature d’une conique par  la donnée de son équation réduite et déterminer ses éléments géométriques

§ Construire géométriquement une conique définie par son équation réduite

§ Donner une représentation paramétrique :

-       D’une ellipse

-       D’une hyperbole

§ Écrire l’équation de la tangente en un point donné d’une conique

§ Étudier des exemples de courbes d’équation :

où p et q sont des réels non nuls

§ Regazonner le plan à l’aide d’une conique

§ Définition géométrique (bifocale, foyer et directrice)

§ Équations cartésiennes réduites :

-       D’une parabole

-       D’une ellipse

-       D’une hyperbole

§ Équations paramétriques :

-       D’une parabole

-       D’une ellipse

§ Tangente en un point d’une conique

§ Activités : regionnement du plan par une conique

§ On définira une conique par : étant donnés une droite D, un point F n’appartenant pas à D et un réel e strictement positif, la conique de directrice D, de foyer F et ‘excentricité est l’ensemble des points M du plan tels que :

  (H étant le projeté orthogonal de M sur D)

§ On donnera également les définitions d’une ellipse et d’une hyperbole  en utilisant les foyers F et F’ :

· On fera découvrir, par l’élève lui-même, une certaine représentation paramétrique de l’ellipse ou de l’hyperbole ainsi que la technique pour retrouver l’équation de la tangente en un point ; on fera ensuite retenir les résultats obtenus qui seront directement appliqués