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  • DYNAMIQUE DE TRANSLATION

    • DYNAMIQUE DE TRANSLATION

       

      A-  Le théorème du centre d’Inertie

      1)      Le vecteur quantité de mouvement

      Le vecteur quantité de mouvement noté , d’un solide (système d’un point matériel) de masse m animé d’un vecteur vitesse est définie par.


      Son module vaut : ‖  ‖= mv

      p en kg.m/s ; m en kg et v en m/s

      2)      Le principe d’inertie

      Un système de point matériel est dit mécaniquement :

      -         Isole : lorsqu’il ne subit aucune force extérieure= 0

      -          Pseudo-isole : lorsque la résultante des forces extérieure appliquées au solide est égale au vecteur nul

      Ʃ = 0


      3)      La relation Fondamentale de la dynamique (RFD)

      Dans le repère Galiléen R(G,, ), la résultante des forces extérieures appliquées à un solide est égale au dérivé par rapport au temps du vecteur quantité de :

      Ʃ =  

      Conséquence

      a)      Si le système est pseudo-isolé

      Ʃ = 0⇒  = 0⇒ =constante. L’égalité  =constante indique le théorème de la conservation du vecteur quantité de mouvement.

      Ce théorème est utilisé lors d’un choc de deux solides. Il existe deux types de chocs

            - Choc Mou : après le choc les deux solides s’accrochent c.-à-d. ils sont animés à la même vitesse après le choc. Il y a conservation du vecteur quantité de mouvement (et perte d’énergie cinétique)

      Ec(avant le choc) ˃ Ec (après le choc)

      (avant le choc) =  (après le choc)

      m1 + m2 = (m1 + m2)

       

             - Choc élastique : après le choc les deux solides s’écartent.C.-à-d. ils sont animés des vitesses différentes après le choc. Il y a conservation du vecteur quantité du mouvement et conservation de l’énergie cinétique.

      Ec(Avant le choc) = Ec(après le choc)

      m1+ m2= m1 + m2      

      m1+ m2=m1 +m2

      b)      Si le vecteur vitesse est un vecteur variable

      Ʃ == (m.) = m

      Donc, Ʃ= m

      C’est la formule du théorème de centre d’inertie (ou TCI)

       Remarque :

      Plan à suivre lors de l’application du TCI

      -          Préciser le système a étudié

      -          Représenter les forces appliques au solide (bilan des forces appliquer ou inventorier des forces appliquer)

      -          Choisir un repère de projection :

      ·           Repère Galiléen  si le support de la trajectoire est rectiligne dont Gest même sens

      que le mouvement et G perpendiculaire à G

      ·           Repère de Frènet si le support de la trajectoire est curviligne (courbe) dont Gtangente à la trajectoire et même sens que le mouvement et G normal perpendiculaire à la trajectoire et centripète.

      -          Ecrire la formule du TCI

      -          Projeter la formule du TCI sur le repère choisi  pour résoudre le problème

      B-  Application

      Un corps A de masse mA=70 g entraine dans sa chute un corps B de masse mB = 80g qui glisse sur un plan incliné d’un angle =30°. A et B sont reliés par l’intermédiaire d’un fil inextensible qui passe par la gorge d’une poulie dont on néglige la masse.

      Calculer en négligeant tous les frottements, l’accélération et la tension du fil (g=10 ms-2)

       

       

      Système : corps B

      Référentiel : terrestre

      Bilan des forces : , ,

      TCI : ++= mB                                                        

      Projetons la relation vectorielle sur l’axe Ox:

      -PBsinα + TB = mBa ⇒ TB = mB(a + g sinα) (1)

      Système : corps A

      Référentiel : terrestre

      Bilan des forces :,

      TCI : +  = mA

      (0z) : - PA + TA = mAa⇒ TA = mA(g – a) (2)

       

      La tension du fil inextensible est partout la même: TA= TB

      mA(g – a) = mB (a + g sinα)


      AN: a=2 m.s-2

      La tension des fils: TB= TA= mA (g-a) =0,56 N 

      C-  Applications aux mouvements plans

      1.       Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur

      Un projectile S de masse m est lancée dans le champ de pesanteur à partir d’un point O considéré comme origine des espaces avec une vitesse V0 faisant un angle α avec l’horizontale.

       

       


      On appelle portée, l’abscisse xp d’un projectile, le point P d’ordonné nulle (c’est le point de chute du projectile).

      On appelle flèche, la hauteur maximale h atteinte par le projectile.

       1-    Déterminer les équations horaires et de la trajectoire de ce projectile.

      2-      Calculer la portée et la flèche.

       Résolution :

                 Système : Solide

      Référentiel : Terrestre

      Représentation du système

             1- Les équations horaires et l'équation  cartésienne de la trajectoire:

      Le TCI nous donne

      Ʃ = m

      = m

      =

              

      Pour déterminer l’équation de la trajectoire on remplace le temps dans l’équation horaire y(t).


      2.       Calcul de la flèche et de la portée:

       La portée correspond à l’ordonnée nul donc y=0

       Soit la portée de point P (O, xP) en posant y=0 dans l’équation de la trajectoire on obtient :


      Donc après calcul on obtient x = 0 ou


      On retiendra donc que la portée à pour valeur


      Calcul de la flèche

      La trajectoire étant parabolique, l’abscisse de la flèche est égale à la moitié de celle de la portée, donc :


      Nous remplaçons cette expression dans l’équation de la trajectoire c.à.d.

       

      Par transformation, on obtient :


      2-      Mouvement d‘une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme

      On considère un champ électrostatique uniforme  produit par deux plaques parallèles

      (A) et (B) entre lesquelles il est établi une différence de potentiel VA = VB constante. Une particule de charge q lancées d’un point O dans le champ avec une vitesse V0 est soumise à la force électrostatique . Le poids de la charge est négligeable devant .



      La vitesse initiale V0 est horizontale et à l’instant t=0 la particule de charge positive entre en O(0,0). Ecrire les équations paramétriques du mouvement et déduire l’équation de la trajectoire. Puis calculer la déflexion ou déviation linéaire c'est-à-dire l’ordonnée de la tache sur l’écran.

      Système : particule chargée

      Référentiel : Terrestre

      Représentation du  système

      Le TCI nous donne

      Ʃ= m

      = m   n’ayant pour seule force que la force électrique

      Nous obtenons comme accélération

      =

             

      Equation de la trajectoire :

      x = v0t ⇒ t =

      Donc,


      A la sortie des armatures, on est au point P c'est-à-dire x=l et y=HP. Pour trouver l’ordonnée M de l’impact sur l’écran, on utilise les triangles IMO’ et IPH.

      On pose


      Ce qui nous permet d’écrire



      Ceci nous permet au final d’avoir


      Au final on obtient


      D- Oscillateurs en translation

      1.       PENDULE ELASTIQUE HORIZONTAL

      On suppose que la masse m glissant sans frottement sur un plan horizontal est reliée à l’une des extrémités d’un ressort de raideur k, l’autre extrémité étant fixe. Soit le repère (G, 0, )

       

      a)   Équation différentielle du mouvement

      Système : la masse m

      Référentiel : laboratoire

      Bilan des forces : R,P etT

      Théorème du centre d’inertie : ++ =m

      Projetons la relation vectorielle sur l’axe xx’ :

      0 + 0 – T = m avec T = kx

       - kx = m

      Donc,


      C’est l’équation différentielle d’un mouvement harmonique.

      c)       Solution de l’équation différentielle

      d)      étude énergétique

      Un instant t donné:


      Le système est conservatif car l’énergie mécanique est constante.

      2.   PENDULE ELASTIQUE VERTICAL

                      a) équation différentielle

       


       b) étude énergétique


       L’énergie mécanique se conserve: le système est conservatif car l’énergie est constante

       3. PENDULE ELASTIQUE SUR UN PLAN INCLINE

       a) étude dynamique

       

       

      b) étude énergétique




      Mr RANDRIANANTENAINA Chabanas Deloy

      e mail: deloychabanas@gmail.com