Themen dieses Kurses

  • Allgemeines

  • COURS

    • PROBABILITÉ

      Notion de probabilité (rappel)

      Cardinal,  complémentaire

      C’est  un ensemble E fini est le nombre d'éléments de cet ensemble. On le note Card E

      Intersection de deux ensembles :

      L'intersection de deux ensembles A et B est formée des éléments qui sont communs aux deux ensembles, c'est à dire qui appartiennent à l'un ET à l'autre des ensembles A et B.

      On écrit : A∩B et on lit A " inter " B

      De manière symbolique, A∩B={x tels que x\( \in \)A et x\( \in \)B}

      Réunion de deux ensembles :

      La réunion de deux ensembles A et B est formée des éléments qui appartiennent à l'un OU à l'autre des ensembles A et B. OU AUX DEUX

      On écrit : AUB et on lit A " union " B

      De manière symbolique, AUB ={x tels que x\( \in \)A ou x\( \in \)B}

       

      Propriété : Soit A et B deux ensembles finis.

      Alors : Card(AUB)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B)

      Preuve : Lorsqu'on additionne card A et card B on compte deux fois les éléments de A∩B


      Complémentaire d’un ensemble :

      Le complémentaire d'une partie A {\displaystyle A} A  d'un ensemble E est constitué de tous les éléments de E {\displaystyle E} E n'appartenant pas à AA {\displaystyle A} AAAAA.

      Le complémentaire de A est noté CA , AC , CA. En cas de risque de confusion, si l'on veut préciser que l'on parle du complémentaire de A A {\displaystyle A} dans EE {\displaystyle E} , on note CEA

      Si A A {\displaystyle A} est différent de l'ensemble vide et de E E {\displaystyle E} , alors A et AC forment une partition de l’ensemble E {\displaystyle E} .

      Vocabulaire de base des probabilités

      Définitions et notation:

      ** On appelle Expérience aléatoire toute expérience réalisée suivant un protocole expérimental précis et reproductible à l'identique.

      Chaque répétition est appelée une épreuve.

      ** L’ensemble des résultats possibles est appelé Univers des possibles (ou des éventualités, ou des issues), et est souvent noté Ω.

                  **On appelle événement toute partie de l’univers des possibles.

      Si l’événement est réduit à une seule issue, on dit qu’il est élémentaire.

      Notion de probabilité

      ** Définir une probabilité, liée à une expérience aléatoire, c’est associer à chaque événement un réel de l’intervalle [0 ;1]

      ** La somme des probabilités des événements élémentaires soit égale à 1

      **La probabilité d’un événement soit égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

      **Une probabilité p est donc une fonction définie sur l’ensemble des événements, à valeurs dans [0 ;1]

      n-uplet

      Pour n > 0, notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, …, an le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : (a1,a2,…,an).

      Alors le 0-uplet s'écrit ().

      L'égalité des n-uplets se définit par :

       (a1,a2,…,an) = (b1, b2,…,bn) ↔a1 = b1 et a2 = b2 … et an = bn.

      Un  n-uplet d'éléments d'un ensemble E est un élément de sa n-ième puissance cartésienne En : un 1-uplet est un élément de E, un 2-uplet est un couple (ou doublet) et un 3-uplet est un triplet ; un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, etc.

      Plus généralement, si E1, …, En, sont des ensembles, alors l'ensemble des n-uplets (a1,a2,…,an) où a1 appartient à E1, …, an appartient à En, est le produit cartésien de ceux-ci, noté E1 × … × En.

      Univers

      C’est l'ensemble de toutes les issues (résultats) qui peuvent être obtenues au cours d'une expérience aléatoire. Souvent noté Ω, U ou S

      Evénement

      Un événement lié à une expérience aléatoire est un ensemble dont les éléments sont des résultats possibles pour cette expérience (c'est-à-dire un certain sous-ensemble de l'univers lié à l'expérience). Un événement étant souvent défini par une proposition, nous devons pouvoir dire, connaissant le résultat de l'expérience aléatoire, si l'événement a été réalisé ou non au cours de cette expérience.

      Mathématiquement, un événement est un ensemble appartenant à une σ-algèbre B {\displaystyle {\mathcal {B}}} ß d'un espace probabilisable ( Ω , B ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {B}}\right)}(Ω, ß). Si l'événement est constitué d'un seul élément, on parle alors d'un événement élémentaire.

      Tribu ou σ-algèbre ou rarement corps de Borel

      Soit X {\displaystyle X} X un ensemble. On appelle tribu (ou σ-algèbre) sur XX {\displaystyle X}, un ensemble A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A de parties de X {\displaystyle X} X qui vérifie :

      1.      A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A n'est pas vide

      2.      A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A est stable par complémentaire

      3.      A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A est stable par union dénombrable.

       

      Espace probabilisable

      Un espace probablisiablee est un couple ( Ω , B ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {B}}\right)}(Ω, ß) constitué d'un ensemble Ω et d'une tribu ou σ-algèbre B {\displaystyle {\mathcal {B}}} ß sur Ω. Il permet une modélisation qualitative d'une expérience aléatoire.

      L'ensemble Ω est appelé l'univers lié à l'expérience, et les éléments de B {\displaystyle {\mathcal {B}}} ß sont appelés les évènements liés à l'expérience.

      Espace probabilité

      Un espace de probabilité(s) ou espace probabilisé est construit à partir d'un espace probabilisable en le complétant par une mesure de probabilité : il permet la modélisation quantitative de l'expérience aléatoire étudiée en associant une probabilité numérique à tout événement lié à l'expérience. Formellement, c'est un triplet ( Ω , A , P ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}},P\right)} (Ω, A, P) formé d'un ensemble Ω, d'une tribu ou σ-algèbre A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A sur Ω et d'une mesure P sur cette σ-algèbre tel que P(Ω) = 1.

      L'ensemble Ω est appelé l'univers et les éléments de A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A sont appelés les événements. La mesure P est appelée probabilité ou, mieux, mesure de probabilité, et pour un événement A de A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A, le nombre réel P(A) s'appelle la probabilité de l’événement A.

      Ce qui précède est une formulation extrêmement condensée des axiomes des probabilités.

      Remarquons que lorsque Ω est infini non dénombrable, n'importe lequel de ses sous-ensembles n'est plus nécessairement un événement : en effet, dans ce cas précis, la tribu des événements est choisie strictement incluse dans l'ensemble des parties de l'univers

      Axiomes des probabilités

      Premier axiome

      Pour tout événement   A {\displaystyle \ A} A : 0\( \leq \)P(A)\( \leq \) 1

      C'est-à-dire que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

       Deuxième axiome

        Ω {\displaystyle \ \Omega }Ω désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considéré e,

      P(Ω)=1

      C'est-à-dire que la probabilité de l'événement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des événements élémentaires est égale à 1.

      Troisième axiome

      Toute famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), A1,A2, ............... A 1 , A 2 , … {\displaystyle A_{1},\,A_{2},\dots } satisfait : P(A1UA2U......)=

      P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ) = ∑ i = 1 + ∞ P ( A i ) {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{+\infty }\mathbb {P} (A_{i})}.

      C'est-à-dire que la probabilité d'un événement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'événements est égale à la somme des probabilités de ces événements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les événements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

      Conséquences

      À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

      \( \rightarrow \) P(Ø)=0

      \( \rightarrow \)     Si   A {\displaystyle \ A} A,   B {\displaystyle \ B} B sont deux événements incompatibles (ou disjoints), alors P(AUB)=P(A)+P(B)P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . {\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).}

      \( \rightarrow \)   Plus généralement, si (Ak)  ( A k ) 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle \ (A_{k})_{1\leq k\leq n}}1\( \leq \)k\( \leq \)n est une famille d'événements 2 à 2 incompatibles, alorsP ( ⋃ 1 ≤ k ≤ n A k ) = ∑ 1 ≤ k ≤ n P ( A k ) . {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {P} (A_{k}).} 

      \( \rightarrow \)   P(B\A)=P(B)-P(A∩B)  Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence P(B)-P(A∩B). Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de P(A\B)et de P(A∩B)

       \( \rightarrow \)  En particulier, si(A\( \subset \)B), alors P(A)\( \leq \)P(B)


      C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} (A\( \subset \)B), la propriété précédente s'écrit P(B\A)=P(B)-P(A)où le premier terme est clairement positif ou nul.

      \( \rightarrow \)  Dans le cas particulier où B=Ω B = Ω , {\displaystyle B=\Omega ,} cela donne que, pour tout événement P(Ω\A)=1-P(A)  A {\displaystyle \ A}


      Ceci signifie que la probabilité pour qu'un événement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'événement contraire que celle de l'événement lui-même.

      \( \rightarrow \)Pour tous événements A,B

      P(AUB)= P(A)+P(B)-P(A∩B)\( \leq \) P(A)+P(B)




        A {\displaystyle \ A}

      P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B )   ≤   P ( A ) + P ( B ) . {\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)\ \leq \ \mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).}

      Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des événements A ou B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que A se réalise, et pour que B se réalise, moins la probabilité pour que A et B se réalisent simultanément. De même,


       \( \rightarrow \)  P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( B ∩ C ) − P ( C ∩ A ) − P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ∩ C ) . {\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B\cup C)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (C)-\mathbb {P} (B\cap C)-\mathbb {P} (C\cap A)-\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A\cap B\cap C).} Ces deux dernières formules sont des cas particuliers (n=2,3) du principe d'inclusion-exclusion qui porte parfois le nom de "formule du crible de Poincaré":

      P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ k = 1 n ( ( − 1 ) k − 1 ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < … < i k ≤ n P ( A i 1 ∩ A i 2 ∩ … ∩ A i k ) ) , {\displaystyle \mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right)\right),} qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.


       \( \rightarrow \)   Par récurrence, l'inégalité obtenue pour n=2 se généralise :

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