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  Chap II MOUVEMENT PERIODIQUE SINUSOIDAL

  • MOUVEMENT PERIODIQUE SINUSOIDAL

    1-      1- Définitions :

    -          Un mouvement est périodique s’il se répète de façon identique à lui-même, à des intervalles de temps successifs égaux à T (période du mouvement)

     

    -          Un mouvement périodique est sinusoïdal si un point mobile M du mouvement effectue un mouvement de va-et-vient autour de sa position d’équilibre. L’élongation du mobile à l’instant t s’écrit : y = a sin (ωt + φ)

     

    Exemple : mouvement d’un pendule simple

    
    

                                

    
    

    La longueur de la trajectoire est l = 2a

    -          Un mouvement périodique sinusoïdal est vibratoire s’il est très rapide. L’élongation des points vibrants satisfait à y = a sin (ωt + φ) ou y = a sin (t + φ) ou y = a sin (2ΠNt + φ)

     

    Exemple : vibration d’une lame élastique en acier

      OL : lame vibrante
     

    -          La période T du mouvement est la durée d’une oscillation complète.

    -          La fréquence N du mouvement est le nombre d’oscillations par seconde.

     

    2-      2-Propagation d’un ébranlement :

    Un ébranlement est une déformation brusque et locale ; il se propage avec une vitesse constante dans un milieu élastique (exemples : corde en caoutchouc, ressort, surface d’un liquide, …)

     

    a)      a) Ebranlement transversal :

    ·     - Expérience :

    Soit une corde en caoutchouc légèrement tendue. Faisons déplacer l’extrémité O de la corde vers O’.

     
    

     

    
    

    
    

    
    

    La portion de la corde voisine de O se déforme, puis revient à l’équilibre pendant que la portion suivante se déforme à son tour et ainsi de suite. On dit qu’il y a propagation d’un ébranlement le long de la corde élastique.

    Au passage de l’ébranlement, chaque point de la corde se déplace perpendiculairement à la direction de propagation.

     

    v                                 - Définition :

    L’ébranlement est dit transversal lorsque les points du milieu se déplacent perpendiculairement à la direction de propagation.

     

    b)      b) Ebranlement longitudinal :

    v                                 - Expérience :

    Soit un long ressort très souple légèrement tendu.

     

     

     

     

     

     

     

     

    A l’instant t = 0, le piston est en S, son élongation est alors supposée nulle. Toutes les spires du ressort sont équidistantes.

    Faisons déplacer le piston vers la droite, le ressort se raccourcit ; ce sont seulement les spires voisines de S qui se rapprochent immédiatement en créant une zone comprimée.

    Lorsque nous abandonnons le piston à lui-même, les spires près de S reprennent leur position initiale tandis que les spires voisines se compriment à leur tour et ainsi de suite. La compression se progresse le long du ressort.

    Au passage de l’ébranlement, chaque spire du ressort fait un déplacement parallèle à la direction de propagation.

    v                        - Définition :

    L’ébranlement est dit longitudinal lorsque les points du milieu se déplacent parallèlement à la direction de propagation.

     

    c)       c) Ebranlement à la surface libre du liquide :

    Un choc à la surface libre d’un liquide tranquille engendre une ride circulaire dont le rayon croît uniformément. Les rides circulaires se propagent dans toutes les directions avec la même vitesse.

    
    

     
     
    

    d)      d) Conclusion :

    v          La propagation d’un ébranlement ne correspond jamais à u transfert de matière.

    v           L’ébranlement se propage à vitesse constante. Cette vitesse constante de propagation s’appelle : célérité de propagation.

    v          On appelle célérité de propagation, la vitesse de propagation d’ébranlement d’un milieu élastique. La célérité dépend des constantes physiques et mécaniques du milieu propagateur.

     

    3-      3- Expression de la célérité d’ébranlement :

    a)      a) Ebranlement transversal transmis par une corde tendue :

    
    

    
    

    F : force de la tension de la corde (N)

    μ : masse linéique de la corde (Kg.m^-1)  

    v : célérité d’ébranlement

     

    b)      b) Ebranlement longitudinal transmis par un gaz :

    
    

    p : pression du gaz

    ρ: Masse volumique du gaz

    : Rapport des chaleurs massiques à pression constante et à volume constant.

    
    

    C_p : chaleur massique à pression constante

    C_v : chaleur massique à volume constant

     

        ne dépend que de l’atomicité du gaz.

    §  Pour les gaz monoatomiques (He, Ne, Ar,…) = 1,67

    §  Pour les gaz diatomiques (H₂, N₂, O₂,…)  = 1,33

    Remarque :

    Au passage d’ébranlement, chaque point du milieu reproduit le mouvement de la source.

     

     

     
    

    Un point M situé à la distance x de la source O, reproduit le mouvement de O avec un retard de

     

      , θ est appelé décalage horaire.

     

    4-      4- Longueur d’onde λ :

    On appelle longueur d’onde, la distance parcourue par l’onde pendant une période T.

    ou 

    λ est exprimé en m.

    v en m.s^-1

    N en Hz et T en s.

     

    5-      5- Propagation d’un mouvement vibratoire sinusoïdal le long d’une corde :

    a)            a) Onde progressive dans un milieu unidimensionnel :

    ·                  - Observation du mouvement de la corde :

    
    

    ·          

     

     

    On obtient une sinusoïde qui reproduit les variations de l’élongation du point M en fonction du temps : c’est la sinusoïde des temps.

    On obtient aussi une sinusoïde qui donne la position de tous les points de la corde à un instant donné : c’est la sinusoïde des espaces.

    On appelle onde progressive l’ensemble des perturbations obtenues sur le milieu par la propagation du mouvement vibratoire.

    ·                                 -  Interprétation :

    -                   Périodicité dans le temps :

    Chaque point de la corde s’anime d’un mouvement sinusoïdal de même amplitude a et de même période T. Le graphe y = f(t) est la sinusoïde des temps.

    

    y = a sin (ωt) = y = a sin ( t)

    -                       Périodicité dans l’espace : longueur d’onde

    Chaque point de la corde s’anime d’un mouvement sinusoïdal de même amplitude a et de même période spatiale λ(longueur d’onde). Le graphe y = f(x) est la sinusoïde des espaces.

    
    

    Le point M situé à la distance x de la source O reproduit le mouvement de o avec un retard de 

    Soit y_M(x) = y(t – )

    y_M(x) = a sin [ω(t – )]

    y_M(x) = a sin[(t -  )]

    y_M(x) = a sin[( - )]

    ·                  -  Deux vibrations le long d’une corde :

    Soit deux points M₁ et M₂ d’une corde de longueur l et d’équations horaires respectives :

    y₁ = a sin(- )   avec = - 

    y₂ = a sin(- )   avec  = -

    La différence de phase entre y₁ et y₂ s’écrit 𝚫φ = 

    -                           -  Points vibrants en phase :

    M₁ et M₂ vibrent en phase si    = 2kπ, kϵ

    -  +  = 2kπ

    x₂ – x₁ = kλ, kϵ

    Deux points distants d’un nombre entier de longueur d’onde vibrent en phase

    -                             -  Points vibrants en opposition de phase :

    M₁ et M₂ vibrent en opposition de phase si  =π + 2kπ, kϵ

    (x₂ – x₁) = π + 2kπ

    x₂ – x₁ = (2k + 1)

    Deux points distants d’un nombre impair de demi-longueur d’onde vibrent en opposition de phase.

    -                            -  Points vibrants en quadrature de phase :

    M₁ et M₂ vibrent en quadrature de phase si =± + 2kπ, kϵ

    v  y        y₁ est en quadrature avance sur y₂ si =  + 2kπ

    (x₂ – x₁) =   + 2kπ

    x₂ – x₁ = (2k +  )

    v                y₁ est en quadrature retard sur y₂ si = -  + 2kΠ

    (x₂ – x₁) = -  + 2kπ

    x₂ – x₁ = (2k - )